Expresiones Algebraicas

Una expresión algebraica es un conjunto de cantidades numéricas y literales relacionadas entre sí por los signos de las operaciones aritméticas como sumas, diferencias, multiplicaciones, divisiones, potencias y extracción de raíces.

Algunos ejemplos de expresiones algebraicas son:

o

Clasificación de los Polinomios

Algunos polinomios reciben un nombre en especial según el número de términos no semejantes:

Monomio: es el polinomio que esta formado por un solo termino

Ej: P(x)= Ej: Q(x)=

Binomio: es un polinomio formado por dos términos ,

Ej: P(x)=

Trinomio: es un polinomio formado por tres términos;

Ej:P(x)=

Productos notables

Binomio al cuadrado

Binomio de suma al cuadrado

Un binomio al cuadrado (suma) es igual es igual al cuadrado del primer término, más el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado segundo.

(a + b)² = a² + 2 · a · b + b²

(x + 3)² = x ² + 2 · x ·3 + 3 ² = x ² + 6 x + 9

Binomio de resta al cuadrado

Un binomio al cuadrado (resta) es igual es igual al cuadrado del primer término, menos el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado segundo.

(a − b)² = a² − 2 · a · b + b²

(2x − 3)² = (2x)² − 2 · 2x · 3 + 3 ² = 4x² − 12 x + 9

Suma por diferencia

Una suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados.

(a + b) · (a − b) = a² − b²

(2x + 5) · (2x - 5) = (2 x)² − 5² = 4x² − 25

Binomio al cubo

Binomio de suma al cubo

Un binomio al cubo (suma) es igual al cubo del primero, más el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo.

(a + b)³ = a³ + 3 · a² · b + 3 · a · b² + b³

(x + 3)³ = x ³ + 3 · x² · 3 + 3 · x· 3² + 3³ =

= x ³ + 9x² + 27x + 27

Binomio de resta al cubo

Un binomio al cubo (resta) es igual al cubo del primero, menos el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo.

(a − b)³ = a³ − 3 · a² · b + 3 · a · b² − b³

(2x - 3)³ = (2x)³ - 3 · (2x)² ·3 + 3 · 2x· 3² - 3³ =

= 8x ³ - 36 x² + 54 x - 27

Trinomio al cuadrado

Un trinomio al cuadrado es igual al cuadrado del primero, más el cuadrado del seguno, más el cuadrado del tercero, más el doble del primero por el segundo, más el doble del primero por el tercero, más el doble del segundo por el tercero.

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2 · a · b + 2 · a · c + 2 · b · c

(x² − x + 1)² =

= (x²)² + (−x)² + 1² +2 · x² · (−x) + 2 x² · 1 + 2 · (−x) · 1 =

= x⁴ + x² + 1 − 2x³ + 2x² − 2x =

= x⁴ − 2x³ + 3x² − 2x + 1

Suma de cubos

a³ + b³ = (a + b) · (a² − ab + b²)

8x³ + 27 = (2x + 3) (4x² - 6x + 9)

Diferencia de cubos

a³ − b³ = (a − b) · (a² + ab + b²)

8x³ − 27 = (2x − 3) (4x² + 6x + 9)

Producto de dos binomios que tienen un término común

(x + a) (x + b) = x² + ( a + b) x + ab

(x + 2) (x + 3) =

= x² + (2 + 3)x + 2 · 3 =

= x² + 5x + 6

Cocientes notables

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

Factor común:

Se le llama factor común al mayor factor o factores iguales de todos los términos de un polinomio.

Ejemplo:

Agrupación de términos

En este caso de factorización, el polinomio presenta 4 ó 6 términos comúnmente. Como no existe un factor común a todos los términos debemos agruparlos de dos en dos, o de tres en tres, entre paréntesis, expresando las adiciones correspondientes, de tal forma que cada paréntesis sea factorizable por factor común. Luego el objetivo es lograr una expresión algebraica que sea factorizable nuevamente por factor común.

Hallamos el factor común de cada paréntesis y obtenemos:

Ejemplo:

Hallamos el factor común de la expresión resultante y obtenemos:

No olvide agrupar los términos por elementos comunes.

Trinomio cuadrado perfecto

Estudiamos en los productos notables que:

Los trinomios resultantes cumplen:

Dos de sus términos son positivos cuadrados y perfectos.

El término restante es el doble del producto de las raíces de los términos cuadrados.

Todo trinomio que cumpla con las dos condiciones anteriores se considera como trinomio cuadrado perfecto.

Un trinomio cuadrado perfecto es igual al producto de un binomio por si mismo lo que también equivale a elevarlo al cuadrado.

Descomposición de trinomios cuadrados perfectos.

Ejemplo:

Hallando la raíz cuadrada del primer y último término:

Se forma un binomio colocando la raíz del primer término seguido del signo del segundo término y por último la raíz del tercer término:

Para la respuesta final el binomio se eleva al cuadrado:

Diferencia de cuadrados

Para que un polinomio sea una diferencia de cuadrados debe:

Tener dos términos separadas con un signo menos.

Ambos términos deben ser cuadrados perfectos.

Si se cumple lo anterior, para factorizar el polinomio, se multiplica la suma de las raíces por su diferencia. Ejemplo:

Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción

Caso general para factorizar trinomios de la forma 

Para factorizar trinomios de estas dos formas utilizaremos un proceso llamado producto cruz.
Ejemplo:

Buscaremos dos factores del primer término y dos del tercero colocándolos en columna de modo que al multiplicarlos de forma cruzada (producto cruzado) la suma de los productos sea igual al segundo término.
Ejemplo: como

Ejemplo:

Buscamos del mismo modo dos factores del primer término y dos del segundo y seguimos el procedimiento anterior, tenemos: